Geometria płaska

[exted 0]

Witam.

Przygotowuje sie do egzamnu i rozwiazujac zadania z geometri natrafilem na pewien walek, pewnie banalny, ktorego nie moge sobie przypomniec. Moze ktos wpadnie jak rozwiazac zadanie.

W trójkąt ostrokątny ABC, w którym |AB| = 8 oraz wysokość |CD| = 6 wpisano kwadrat DEFG tak, że bok DE jest zawarty w boku AB a wierzchołki F, G należą do boków AC i BC. Oblicz pole tego kwadratu.

 

Mam pare bardzo podobnych zadan do tego, ale nie moge wpasc jak je rozwiazac.

Dzieki z gory za pomoc.

[Gared 0]

Albo coś źle zrozumiałem... albo to zadanie jest bez sensu - tzn w treści jest błąd. Przy takiej jak podałeś obecnie taki kwadrat nie ma prawa istnieć.

 

Jak napisałeś wysokość opuszczamy z wierzchołka C - czyli siłą rzeczy opada ona na podstawę AB. Ta wysokość została nazwana CD. Kwadrat nazywa się DEFG - z tego wynika, że jego bok DG musi być zawarty w wysokości. Potem zaś leci tekst, że wierzchołki F i G należa do ramion trójkąta. Czyli albo źle przepisałeś treść, albo w zadaniu jest błąd, co czyni je nierozwiązywalnym (bowiem tak opisany układ nie ma prawa istnieć).

[exted 0]

Masz racje, jestem na tyle zmeczony, ze nawet tego nie zalwazylem. W ogole w zadaniach przygotowujacych z WSISiZ jest duzo bledow.

Kolejne zadanie, tak jak juz napisale wczesniej, we wszystkich ich chodzi o to samo.

W trójkąt równoramienny ABC o długości podstawy |AB| =16 i długości ramion |AC| =|BC| = 10 wpisano prostokąt DEFG tak, że bok DE jest zawarty w podstawie trójkąta a wierzchołki F, G należą do ramion trójkąta. W tym prostokącie |DE|:|EF| = 6:1.Oblicz długości boków tego prostokąta.

[Gared 0]

Generalnie te zadania które tutaj podajesz opierają się na twierdzeniu Talesa (głównie). Daj mi chwilkę a skrobnę Ci rozwiązania, ok?

[exted 0]

Luz, to czekam na jakies pomysly

Edit:

PS.Dobrze mowi, dac mu wodki

[Gared 0]

Przede wszystkim wybacz jakość rysunków, ale paint nie jest idealnym narzędziem do tego typu zabawy.

 

Tutaj jest Twój trójkąt:

 

 

Żeby się nie babrać przecinamy go po wysokości "na pół" i dostajemy coś takiego:

 

 

Parę uwag:

1. policzyć wysokość trójkąta ABC, banalne, wychodzi 6.

2. Wiemy, że boki prostokąta pozostają w stosunku 6:1. Skoro skróciliśmy dłuższy bok (ten leżący na boku AB) to zmieni się też ów stosunek - teraz będzie wynosił 3:1.

3. Przyjmij, że h = c + d (ważne). Albo, że wysokość CD jest oznaczony jako h.

 

W tym momencie jesteśmy gotowi do zastosowania twierdzenia Talesa. Otrzymujesz następującą równość (oznaczenia jak na rysunku):

 

c / h = a / b (shit, mamy dwie niewiadome a i c. No to trzeba coś z tym zrobić)

 

Tym, co koniecznie musimy policzyć jest a. Z założenia 3. wiemy, że h = c + d, zatem ponieważ h = 6, to mamy, że 6 = c + d. Czyli mamy, że c = 6 - d.

 

Z równości pozbyliśmy się niewiadomej c, ale dalej mamy dwie niewiadome. Z treści zadania wiemy, że a / d = 3 / 1. Zatem 3d = a czyli d = 1/3 * a

 

Wracamy teraz do c = 6 - d i podstawiamy za d nasze a. Mamy, że:

 

c = 6 - d

c = 6 - 1/3 * a

 

Teraz to już z górki na pazurki. Wracamy do pierwszej równości:

 

c / h = a / b i podstawiamy za c 6 - 1/3 * a

 

(6 - 1/3 * a) / h = a / b

 

Wiemy, że h = 6 a b = 8 no to teraz już żaden problem wyliczyć sobie:

 

(6 - 1/3*a) / 6 = a / 8

 

Równanie z jedną niewiadomą rozwiązać żaden problem. Skoro masz "a" no to dłuższy bok prostokata wynosi 2a, zaś krótszy bok wynosi 1/3*a.

[Gared 0]

A teraz biorę się za pierwsze zadanie. Ono jest akurat na podobieństwo trójkątów (właściwie to w tym drugim też nie trzeba mieszać Talesa - niech spoczywa w spokoju - i też wystarczy samo podobieństwo trójkątów. Jeśli chcesz się pobawić spróbuj znaleźć o co chodzi;) ) i powiedzmy, że treśc koryguję następująco (patrząc na kolejne zadanie zapewne właściwie, są one do siebie bowiem bardzo podobne).

 

Wierzchołki F i G należą do ramion trójkąta, zaś wysokość oznaczamy poprzez CH.

 

 

Zwróć uwagę na dwa trójkąty - ABC oraz GFC. Z cechy podobieństwa kkk (kąt, kąt, kąt) są one podobne - ich odpowiednie boki tworzą odpowiednią proporcję. Zatem mamy:

 

|GF| / |AB| = |CI| / |CH|

 

Żeby się nie pogubić od razu napiszę, co wiemy:

 

|AB| = 8

|CH| = 6

Ponieważ mamy kwadrat, to: |GF| = |IH|, dodatkowo wiemy, że |IH| + |CI| = |CH| = 6

 

Stąd już prosta droga:

 

|CI| + |IH| = 6

|CI| = 6 - |IH| a ponieważ |IH| = |GF| to mamy:

|CI| = 6 - |GF|

 

Stąd:

 

|GF| / |AB| = |CI| / |CH|

|GF| / 8 = |CI| / 6

|GF| / 8 = (6 - |GF|) / 6

 

Znów równanie z jedną niewiadomą, któa w dodatku jest bokiem szukanego przez nas kwadratu.

[exted 0]

Dzieki wielkie, pokazales mi droge w ciemnosci

Pozdrawiam i zycze milego dnia i jeszcze raz dziekuje za poswiecenie czasu.

[Gared 0]

Proszę bardzo - tego typu zadania zawsze lubiłem jakby coś Cię jeszcze trafiło w czasie przygotowań do egzaminu pisz.